Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
E aí! Vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que a gente tem aqui:
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação isso é. A equação de Bernoulli tem a forma geral:
No nosso caso,
,
, e
porque
. Saber isso nos ajuda a escolher o método certo para resolver.
Passo 2
Agora, vamos transformar essa equação de Bernoulli em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Para isso, usamos uma substituição. Vamos definir:
Com essa substituição, nosso objetivo é expressar tudo em termos de
e sua derivada.
Passo 3
Precisamos agora encontrar a derivada de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para isso:
Agora, vamos substituir
da equação original nessa expressão.
Passo 4
Da equação original, temos:
Substituindo isso na expressão da derivada de
:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial linear em termos de
:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. A fórmula geral para o fator integrante é:
Aqui,
, então:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral de
é:
Então temos:
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação é: