Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
d y / d x - y = raiz(y)
y = (C e^(x / 2) - 1)²

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que a gente tem aqui:
Primeiro, vamos identificar que tipo de equação isso é. A equação de Bernoulli tem a forma geral:
No nosso caso, , , e porque . Saber isso nos ajuda a escolher o método certo para resolver.

Passo 2

Agora, vamos transformar essa equação de Bernoulli em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Para isso, usamos uma substituição. Vamos definir:
Com essa substituição, nosso objetivo é expressar tudo em termos de v e sua derivada.

Passo 3

Precisamos agora encontrar a derivada de v em relação a x. Usamos a regra da cadeia para isso:
Agora, vamos substituir d/y d/x da equação original nessa expressão.

Passo 4

Da equação original, temos:
Substituindo isso na expressão da derivada de v:
Como , substituímos:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial linear em termos de v:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante. A fórmula geral para o fator integrante é:
Aqui, , então:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante mu(x):
Isso simplifica para:
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
A integral de é:
Então temos:

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar y:

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados