Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
d y/d x + y = x/y
y^2 = C e^(-2 x) + x - 1/2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo de Bernoulli que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação geralmente envolve uma transformação para torná-la linear. Vamos precisar usar técnicas de equações lineares e substituições para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar a fração:

Passo 3

Agora, observamos que é a derivada de . Então, podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação linear. Seja . Assim, . Substituindo na equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 5

O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .

Passo 7

Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:

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