Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do tipo de Bernoulli que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação geralmente envolve uma transformação para torná-la linear. Vamos precisar usar técnicas de equações lineares e substituições para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar os termos:
Podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 3
Agora, observamos que
é a derivada de
. Então, podemos reescrever a equação assim:
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
Passo 4
Agora, vamos fazer uma substituição para tornar a equação linear. Seja
. Assim,
. Substituindo na equação:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 5
O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Passo 7
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Voltando à equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é: