1
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
d y/d x - y = x^2 y^2
1/y = C e^(-x) - x^2 + 2x - 2

Passo 1

Beleza, galera! Temos aqui uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma geral da Equação de Bernoulli:
No nosso caso, , e . A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear.

Passo 3

Fazemos a substituição . Como , temos:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Então:
Como , temos:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral , usamos a integração por partes duas vezes e obtemos:
Portanto:

Passo 8

Dividimos ambos os lados por para encontrar :
Lembrando que , temos:

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados