1
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
y = sen(x^2)
y = sen(x^2)

Passo 1

Beleza, galera! Temos aqui uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. O enunciado é:
y = sen(x^2)
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma geral da Equação de Bernoulli:
y = sen(x^2)
No nosso caso, y = sen(x^2), e . A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear.

Passo 3

Fazemos a substituição y = sen(x^2). Como y = sen(x^2), temos:
y = sen(x^2)
Agora, vamos derivar y = sen(x^2) em relação a :

Passo 4

Substituímos y = sen(x^2) da equação original na expressão de y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Então:
y = sen(x^2)
Como y = sen(x^2), temos:
y = sen(x^2)

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante y = sen(x^2) é dado por:
y = sen(x^2)

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
y = sen(x^2)
Isso simplifica para:
y = sen(x^2)

Passo 7

Integrando ambos os lados:
y = sen(x^2)
Para resolver a integral y = sen(x^2), usamos a integração por partes duas vezes e obtemos:
y = sen(x^2)
Portanto:
y = sen(x^2)

Passo 8

Dividimos ambos os lados por y = sen(x^2) para encontrar y = sen(x^2):
y = sen(x^2)
Lembrando que y = sen(x^2), temos:

Resposta

A solução geral da equação é:
y = sen(x^2)

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Encontre a derivada da função.
<html><head></head><body><div>Sabe-se que, daqui a <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“0.817ex” height=“1.441ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -626 361 637”><title>t</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> anos, o valor de um terreno estará aumentando à taxa de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.079ex” height=“2.283ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -759 2244.8 1009”><title>V’(t)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D449” d=“M52 648Q52 670 65 683H76Q118 680 181 680Q299 680 320 683H330Q336 677 336 674T334 656Q329 641 325 637H304Q282 635 274 635Q245 630 242 620Q242 618 271 369T301 118L374 235Q447 352 520 471T595 594Q599 601 599 609Q599 633 555 637Q537 637 537 648Q537 649 539 661Q542 675 545 679T558 683Q560 683 570 683T604 682T668 681Q737 681 755 683H762Q769 676 769 672Q769 655 760 640Q757 637 743 637Q730 636 719 635T698 630T682 623T670 615T660 608T652 599T645 592L452 282Q272 -9 266 -16Q263 -18 259 -21L241 -22H234Q216 -22 216 -15Q213 -9 177 305Q139 623 138 626Q133 637 76 637H59Q52 642 52 648Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(861.3,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“2032” d=“M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1105.8,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1494.8,0)”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1855.8,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> reais por ano. Escreva uma expressão para o aumento total do valor do terreno durante os próximos cinco anos.</div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.</div>
<div><span class=“math-block “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG” display=“true”><svg style=“vertical-align: -1.577ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.396ex” height=“4.676ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1370 5921 2067”><title>y = sen(x^2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mrow” transform=“translate(261,676)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 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