1
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, galera! Temos aqui uma equação diferencial chamada Equação de Bernoulli. O enunciado é:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais não lineares, especificamente a substituição que transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação está na forma geral da Equação de Bernoulli:
No nosso caso,
,
e
. A ideia é fazer uma substituição para tornar a equação linear.
Passo 3
Fazemos a substituição
. Como
, temos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Então:
Como
, temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral
, usamos a integração por partes duas vezes e obtemos:
Portanto:
Passo 8
Dividimos ambos os lados por
para encontrar
:
Lembrando que
, temos:
Resposta
A solução geral da equação é: