Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
x dy/dx - y = y^3
(C - x^2) * y^2 = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que a gente tem aqui:
A gente vai trabalhar com equações diferenciais do tipo Bernoulli, que são úteis pra resolver esse tipo de problema. Vamos precisar lembrar como transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear usando uma substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação um pouquinho mais arrumada. Vamos dividir tudo por para isolar :
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, no nosso caso:

Passo 3

Para resolver a equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear. A substituição que a gente usa é:
No nosso caso, como :
Então, vamos expressar em termos de :

Passo 4

Agora, precisamos derivar em relação a . Vamos usar a regra da cadeia:
Rearranjando para :

Passo 5

Substituímos na equação original que já arrumamos:
Agora, vamos dividir tudo por :
Lembrando que , então :

Passo 6

Multiplicamos tudo por para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em :
Onde:

Passo 7

Vamos encontrar o fator integrante :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Isso dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Agora, substituímos :
Rearranjando:

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:

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