Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que a gente tem aqui:
A gente vai trabalhar com equações diferenciais do tipo Bernoulli, que são úteis pra resolver esse tipo de problema. Vamos precisar lembrar como transformar a equação de Bernoulli em uma equação linear usando uma substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação um pouquinho mais arrumada. Vamos dividir tudo por
para isolar
:
Agora, a equação está na forma padrão de uma equação de Bernoulli:
Onde, no nosso caso:
Passo 3
Para resolver a equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação não linear em uma linear. A substituição que a gente usa é:
No nosso caso, como
:
Então, vamos expressar
em termos de
:
Passo 4
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Vamos usar a regra da cadeia:
Rearranjando para
:
Passo 5
Substituímos
na equação original que já arrumamos:
Agora, vamos dividir tudo por
:
Lembrando que
, então
:
Passo 6
Multiplicamos tudo por
para simplificar:
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Passo 7
Vamos encontrar o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Isso dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, substituímos
:
Rearranjando:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é: