Encontre a derivada da função.
F(x)=integralx^2 x e^t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função . Isso envolve cálculo integral e diferencial, especificamente o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia. Vamos precisar lembrar de como derivar integrais com limites que dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida como uma integral com limites variáveis, a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função dentro da integral nos limites e multiplicando pelas derivadas dos limites. A fórmula geral é:
ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)

Passo 3

Aplicando isso à nossa função a'(x) = ddxx = 1 , temos:
  • b'(x) = ddx2x = 2 e

  • Agora, precisamos calcular e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
F'(x) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x) = e^(2x)^2 cdot 2 - e^x^2 cdot 1
Simplificando:
F'(x) = 2e^4x^2 - e^x^2

Resposta

A derivada da função F'(x) = 2e^4x^2 - e^x^2 é:

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