Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=e^{x} y^{2}$$
Res.: d/y + y = e^x y^2

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar equações de Bernoulli, que têm a forma geral:
No nosso caso, , e . Vamos seguir os passos para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Para equações de Bernoulli, usamos a substituição:
Aqui, , então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Derivando ambos os lados:

Passo 3

Reorganizando a derivada de , temos:
Agora, substituímos na equação original:

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Mas sabemos que , então . Substituindo:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais familiar:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

A solução geral da equação é:

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