Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=e^{x} y^{2}$$
Res.:
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A questão pede para encontrar a solução geral de uma equação diferencial que é do tipo Bernoulli. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como tratar equações de Bernoulli, que têm a forma geral:
No nosso caso,
,
e
. Vamos seguir os passos para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Para equações de Bernoulli, usamos a substituição:
Aqui,
, então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Derivando ambos os lados:
Passo 3
Reorganizando a derivada de
, temos:
Agora, substituímos
na equação original:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Mas sabemos que
, então
. Substituindo:
Multiplicando todos os termos por -1 para deixar a equação mais familiar:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Para resolver isso, vamos usar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 6
O lado esquerdo da equação agora pode ser escrito como a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
A solução geral da equação é: