Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
d y/d x + y = x * raiz(y)
y = (C e^(-x / 2) + x - 2)²

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado é . Para resolver, vamos precisar entender como transformar esse tipo de equação em algo mais fácil de resolver, usando substituições e técnicas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:

Passo 3

Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso, , , e porque .

Passo 4

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos:
Isso significa que .

Passo 5

Agora, precisamos expressar em termos de z. Diferenciando em relação a x:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Substituímos e y na equação original:
Como , temos . Substituindo:

Passo 7

Dividimos toda a equação por z (assumindo que z != 0):
Agora, temos uma equação linear em termos de z:

Passo 8

Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante, que é . Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a x:
Usando integração por partes, encontramos:
Dividindo ambos os lados por e^(x/2):

Passo 10

Lembrando que , então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para y:

Resposta

A solução geral da equação é:

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