Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo Bernoulli. O enunciado é
. Para resolver, vamos precisar entender como transformar esse tipo de equação em algo mais fácil de resolver, usando substituições e técnicas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar melhor os termos:
Passo 3
Essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
No nosso caso,
,
, e
porque
.
Passo 4
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma linear. Definimos:
Isso significa que
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Diferenciando
em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Substituímos
e
na equação original:
Como
, temos
. Substituindo:
Passo 7
Dividimos toda a equação por
(assumindo que
):
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Passo 8
Para resolver essa equação linear, encontramos o fator integrante, que é
. Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usando integração por partes, encontramos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Lembrando que
, então:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação é: