Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de Bernoulli, que é uma equação do tipo:
No nosso caso,
,
e
. Para resolver, precisamos transformar essa equação em uma equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para se adequar ao formato de Bernoulli:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, para a equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. Como
:
Então,
. Vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Lembrando que
, então:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 6
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Resolvendo para
:
Lembrando que
:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Resposta
A solução geral da equação é: