Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
d y/d x + y = x e^(-2 x)/y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de Bernoulli, que é uma equação do tipo:
No nosso caso, , e . Para resolver, precisamos transformar essa equação em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para se adequar ao formato de Bernoulli:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, para a equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Como :
Então, . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão de :
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 6

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é:

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx (dy/dx + 1)
y = C x + C (C + 1) $ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que {x=-(2p+1), y=-p^2}
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = -cos(x)
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x} \sqrt{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y / d x) + (d y / d x) raiz(d y / d x) tal que y = C * x + C^(3/2) ; {x = -3 * raiz(p) / 2, y = -1/2 * p^(3/2)}.
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = cos(x)