Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
d y/d x + y = x e^(-2 x)/y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! A equação dada é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de Bernoulli, que é uma equação do tipo:
No nosso caso, , e . Para resolver, precisamos transformar essa equação em uma equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para se adequar ao formato de Bernoulli:
Podemos reescrever isso como:

Passo 3

Agora, para a equação de Bernoulli, fazemos a substituição . Como :
Então, . Vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão de :
Lembrando que , então:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:

Passo 6

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
A equação fica:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Resolvendo para :
Lembrando que :

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar :

Resposta

A solução geral da equação é:

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