Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx (dy/dx + 1)
y = C x + C (C + 1) $ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que {x=-(2p+1), y=-p^2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial da forma de Clairaut que é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender a estrutura da equação de Clairaut e como encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo em termos de , que normalmente chamamos de . Então, substituindo:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Para isso, vamos organizar a equação:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 4

Na equação de Clairaut, a solução geral é obtida mantendo como constante. Então, podemos escrever a solução geral como:
Aqui, é a constante arbitrária que representa a família de soluções gerais da equação.

Passo 5

Para encontrar a solução singular, usamos a condição que vem da derivada da equação original. Diferenciando a equação em relação a , temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação original para encontrar :

Passo 7

Então, a solução singular é dada parametricamente por:
E, não há restrições adicionais para , além de ser um número real ( ).

Resposta

A solução geral da EDO de Clairaut é:
A solução singular, parametrizada, é:
onde .

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