Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.:
$ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial da forma de Clairaut que é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender a estrutura da equação de Clairaut e como encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo em termos de
, que normalmente chamamos de
. Então, substituindo:
Então, nossa equação fica:
Passo 3
Agora, precisamos expressar
em termos de
. Para isso, vamos organizar a equação:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Passo 4
Na equação de Clairaut, a solução geral é obtida mantendo
como constante. Então, podemos escrever a solução geral como:
Aqui,
é a constante arbitrária que representa a família de soluções gerais da equação.
Passo 5
Para encontrar a solução singular, usamos a condição que vem da derivada da equação original. Diferenciando a equação
em relação a
, temos:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na equação original para encontrar
:
Passo 7
Então, a solução singular é dada parametricamente por:
E, não há restrições adicionais para
, além de
ser um número real (
).
Resposta
A solução geral da EDO de Clairaut é:
A solução singular, parametrizada, é:
onde
.
Exercícios relacionados
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: tal que
.
Res.:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x} \sqrt{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: tal que
.
Res.: