Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx (dy/dx + 1)
y = C x + C (C + 1) $ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que {x=-(2p+1), y=-p^2}

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial da forma de Clairaut que é:
Aqui, estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender a estrutura da equação de Clairaut e como encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para deixar tudo em termos de , que normalmente chamamos de . Então, substituindo:
Então, nossa equação fica:

Passo 3

Agora, precisamos expressar em termos de . Para isso, vamos organizar a equação:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):

Passo 4

Na equação de Clairaut, a solução geral é obtida mantendo como constante. Então, podemos escrever a solução geral como:
Aqui, é a constante arbitrária que representa a família de soluções gerais da equação.

Passo 5

Para encontrar a solução singular, usamos a condição que vem da derivada da equação original. Diferenciando a equação em relação a , temos:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação original para encontrar :

Passo 7

Então, a solução singular é dada parametricamente por:
E, não há restrições adicionais para , além de ser um número real ( ).

Resposta

A solução geral da EDO de Clairaut é:
A solução singular, parametrizada, é:
onde .

Exercícios relacionados

Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = -cos(x)
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y/d x) - 1/(d y/d x) tal que y = C x - 1/C ; {x = -1/p^2, y = -2/p}.
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
d y/d x + y = x e^(-2 x)/y
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x} \sqrt{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y / d x) + (d y / d x) raiz(d y / d x) tal que y = C * x + C^(3/2) ; {x = -3 * raiz(p) / 2, y = -1/2 * p^(3/2)}.