Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x} \sqrt{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y / d x) + (d y / d x) raiz(d y / d x) tal que y = C * x + C^(3/2) ; {x = -3 * raiz(p) / 2, y = -1/2 * p^(3/2)}.

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral e a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo Clairaut. Essas equações têm uma forma específica e métodos próprios para serem resolvidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as soluções geral e singular em EDOs de Clairaut.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar. A equação dada é:
Vamos chamar de p para simplificar a notação:

Passo 3

Agora, a forma geral da EDO de Clairaut é:
onde f(p) é uma função de p. No nosso caso, .

Passo 4

A solução geral de uma EDO de Clairaut é dada por:
onde C é uma constante arbitrária. Substituindo na nossa equação, temos:
Essa é a nossa solução geral.

Passo 5

Para encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a p e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para x:

Passo 6

Agora, substituímos esse valor de x na expressão original para y:

Passo 7

Então, a solução singular é:
Observação: Para que raiz(p) seja real, precisamos que .

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
com a restrição de que .

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=\frac{x e^{-2 x}}{y}$$
d y/d x + y = x e^(-2 x)/y
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx (dy/dx + 1)
y = C x + C (C + 1) $ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que {x=-(2p+1), y=-p^2}
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = cos(x)
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = -sen(x)