Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x} \sqrt{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: tal que .
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução geral e a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é do tipo Clairaut. Essas equações têm uma forma específica e métodos próprios para serem resolvidas. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as soluções geral e singular em EDOs de Clairaut.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO para facilitar. A equação dada é:
Vamos chamar de para simplificar a notação:
Passo 3
Agora, a forma geral da EDO de Clairaut é:
onde é uma função de . No nosso caso, .
Passo 4
A solução geral de uma EDO de Clairaut é dada por:
onde é uma constante arbitrária. Substituindo na nossa equação, temos:
Essa é a nossa solução geral.
Passo 5
Para encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, substituímos esse valor de na expressão original para :
Passo 7
Então, a solução singular é:
Observação: Para que raiz(p) seja real, precisamos que .