Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\operatorname{sen} x \frac{d y}{d x}+\cos (x) y=y^{2} \operatorname{sen}^{2} x$$
sen(x) dy/dx + cos(x) y = y^2 sen^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que o enunciado nos deu. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear e pode ser transformada em uma equação linear. Para resolver, vamos precisar manipular a equação e aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais conveniente. Dividimos todos os termos por sen x para simplificar:
Isso nos deixa com:
Onde .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a equação de Bernoulli tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação, identificamos que:

Passo 4

Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos a substituição . No nosso caso, , ent��o:
Agora, precisamos encontrar d v / d x em termos de y e d/y d/x.

Passo 5

Calculando a derivada de v em relação a x:
Agora, rearranjamos para expressar d/y d/x:

Passo 6

Substituímos d/y d/x na equação original:
Agora, dividimos todos os termos por y^2 para simplificar:
Lembrando que , temos:

Passo 7

Rearranjamos para obter uma equação linear em termos de v:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma:
Onde:

Passo 8

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:

Passo 9

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto :

Passo 10

Integrando ambos os lados em relação a x:
Onde C é a constante de integração.

Passo 11

Resolvendo para v:
Lembrando que , temos:

Resposta

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