Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\operatorname{sen} x \frac{d y}{d x}+\cos (x) y=y^{2} \operatorname{sen}^{2} x$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que o enunciado nos deu. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma Equação de Bernoulli, que é uma equação diferencial não linear e pode ser transformada em uma equação linear. Para resolver, vamos precisar manipular a equação e aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la em uma forma mais conveniente. Dividimos todos os termos por
para simplificar:
Isso nos deixa com:
Onde
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a equação de Bernoulli tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação, identificamos que:
Passo 4
Para resolver a Equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. No nosso caso,
, ent��o:
Agora, precisamos encontrar
em termos de
e
.
Passo 5
Calculando a derivada de
em relação a
:
Agora, rearranjamos para expressar
:
Passo 6
Substituímos
na equação original:
Agora, dividimos todos os termos por
para simplificar:
Lembrando que
, temos:
Passo 7
Rearranjamos para obter uma equação linear em termos de
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, da forma:
Onde:
Passo 8
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 9
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação à esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 10
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 11
Resolvendo para
:
Lembrando que
, temos: