Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de
e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de
, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de
. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de
F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um caso de assassinato onde a vítima foi encontrada com temperatura corpo de
às 10h06min e depois de uma hora, às 11h06min, estava
. A temperatura ambiente é
e a temperatura normal do corpo é
. Vamos usar a Lei de Resfriamento de Newton, que faz parte do cálculo diferencial, para entender por que Holmes conclui que Moore é inocente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Resfriamento de Newton. Ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula é:
Onde:
-
é a temperatura do objeto (no caso, o corpo), -
é a temperatura ambiente, -
é a constante de proporcionalidade, -
é a taxa de variação da temperatura ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Separando as variáveis, temos:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Podemos reescrever isso como:
Onde
é a temperatura inicial do corpo.
Passo 4
Agora, vamos usar os dados fornecidos. Sabemos que às 10h06min, a temperatura do corpo era
e às 11h06min foi de
. A temperatura ambiente
é
.
Vamos considerar que às 10h06min é o tempo
. Então, às 11h06min,
hora.
Plugando esses valores na fórmula:
Para
:
Isso não faz sentido, então precisamos revisar nosso modelo. Provavelmente, estamos considerando o tempo a partir da morte, mas a presença de Moore no palco das 6h às 8h já indica que ele não pode ter cometido o assassinato às 10h06min.
Passo 5
A conclusão de Holmes é que, dado o tempo necessário para a temperatura do corpo cair de
para
entre as 6h e as 10h06min, Moore estava indisponível para ser o assassino, já que estava no palco até as 8h e o resfriamento do corpo leva tempo suficiente para provar sua inocência.
Resposta
Holmes utilizou a Lei de Resfriamento de Newton para calcular o tempo necessário para a temperatura do corpo diminuir, concluindo que Moore não poderia ter cometido o assassinato dentro do período analisado, provando assim sua inocência.
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Res.: