Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
x dy/dx + x^2 y = (x^2 - e^(3 x^2 / 2)) y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que se encaixa no tipo de Bernoulli, que é uma classe especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma linear mais fácil de resolver. Vamos lá!

Passo 2

A equação que temos é:
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Nas equações de Bernoulli, usamos a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos substituir na equação original usando a expressão acima. A equação padrão de Bernoulli depois da substituição fica linear. Assim, reorganizamos a equação:
Original:
Substituindo :
Multiplicando todos os termos por para isolar :

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pela :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Mas lembre-se que , então:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :
Aqui, reescrevemos a constante como para simplificar a expressão.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:

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Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de 77,9F e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de 72 graus F, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de 75,6°F. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de 98,6° F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
x dy/dx + x^2 y = x^2 y^3
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva y = C(x + 1), que por sua vez é uma solução particular.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: y = x dy/dx + sen(dy/dx) cos(dy/dx), y = C x + sen(C) cos(C) { x = sen^2(p) - cos^2(p) } tal que y = p - 2 p cos^2(p) + sen(p) cos(p)