Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que se encaixa no tipo de Bernoulli, que é uma classe especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma linear mais fácil de resolver. Vamos lá!
Passo 2
A equação que temos é:
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Nas equações de Bernoulli, usamos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original usando a expressão acima. A equação padrão de Bernoulli depois da substituição fica linear. Assim, reorganizamos a equação:
Original:
Substituindo
:
Multiplicando todos os termos por
para isolar
:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pela
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Mas lembre-se que
, então:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Aqui, reescrevemos a constante
como
para simplificar a expressão.
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é: