Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que se encaixa no tipo de Bernoulli, que é uma classe especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma linear mais fácil de resolver. Vamos lá!
Passo 2
A equação que temos é:
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Nas equações de Bernoulli, usamos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos substituir
na equação original usando a expressão acima. A equação padrão de Bernoulli depois da substituição fica linear. Assim, reorganizamos a equação:
Original:
Substituindo
:
Multiplicando todos os termos por
para isolar
:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante
, que é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pela
:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Mas lembre-se que
, então:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
:
Aqui, reescrevemos a constante
como
para simplificar a expressão.
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli dada é:
Exercícios relacionados
Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de
, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de
. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de
F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=x^{2} y^{3}$$
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.: Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva
, que por sua vez é uma solução particular.
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: ,
tal que
Res.: