Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
x dy/dx + x^2 y = (x^2 - e^(3 x^2 / 2)) y^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A gente tem uma equação diferencial que se encaixa no tipo de Bernoulli, que é uma classe especial de equações diferenciais não lineares. Para resolver, a gente vai precisar usar uma substituição que transforma a equação em uma forma linear mais fácil de resolver. Vamos lá!

Passo 2

A equação que temos é:
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de Bernoulli, que é:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Nas equações de Bernoulli, usamos a substituição . No nosso caso, , então:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos substituir na equação original usando a expressão acima. A equação padrão de Bernoulli depois da substituição fica linear. Assim, reorganizamos a equação:
Original:
Substituindo :
Multiplicando todos os termos por para isolar :

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Onde:
Para resolver essa equação, usamos o fator integrante , que é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pela :
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Mas lembre-se que , então:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para :
Aqui, reescrevemos a constante como para simplificar a expressão.

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli dada é:

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