Sabe-se que, daqui a t anos, o valor de um terreno estará aumentando à taxa de V'(t) reais por ano. Escreva uma expressão para o aumento total do valor do terreno durante os próximos cinco anos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que daqui a anos, o valor de um terreno está aumentando à taxa de reais por ano. Nosso objetivo é encontrar uma expressão que represente o aumento total desse valor durante os próximos cinco anos. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre derivadas e integrais, que fazem parte do cálculo. A derivada representa a taxa de variação do valor do terreno ao longo do tempo, e para achar o aumento total, vamos somar todas essas variações ao longo dos cinco anos, o que usaremos uma integral para fazer.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada nos dá a taxa de variação do valor do terreno no instante . Se quisermos saber o aumento total nesse valor ao longo de um intervalo de tempo, precisamos somar todas essas taxas de variação dentro desse intervalo. Matemáticamente, isso é feito usando uma integral definida.

Passo 3

Então, para encontrar o aumento total do valor do terreno durante os próximos cinco anos, vamos integrar a taxa de variação em relação ao tempo de 0 a 5 anos. A integral definida nos dá justamente essa soma acumulada das variações.

Passo 4

A expressão matemática para isso fica assim:
Essa integral calcula a área sob a curva da taxa de variação entre os anos 0 e 5, representando o aumento total no valor do terreno nesse período.

Resposta

A expressão para o aumento total do valor do terreno durante os próximos cinco anos é:

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