Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.:
Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva
, que por sua vez é uma solução particular.
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Clairaut que a gente tem aqui:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e também verificar se existe uma solução singular. Para isso, vamos precisar entender como funciona a EDO de Clairaut e aplicar alguns passos básicos para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Podemos fatorar
na parte direita da equação:
Agora, vamos isolar
para facilitar a resolução:
Passo 3
Essa forma nos lembra a equação padrão da EDO de Clairaut, que é:
No nosso caso,
. A solução geral para uma EDO de Clairaut é dada por:
onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe uma solução singular. Para isso, precisamos derivar a equação original em relação a
e encontrar condições que nos deem essa solução especial.
Derivando ambos os lados da equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida, devemos ter:
Integrando essa segunda derivada, obtemos uma solução particular:
Essa é a solução singular da EDO.
Resposta
A solução geral da equação é
. Não há solução singular além do ponto
, que é uma solução particular.