Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.:
Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva
, que por sua vez é uma solução particular.
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Clairaut que a gente tem aqui:
O objetivo é encontrar a solução geral dessa equação e também verificar se existe uma solução singular. Para isso, vamos precisar entender como funciona a EDO de Clairaut e aplicar alguns passos básicos para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para ficar mais fácil de trabalhar. Podemos fatorar
na parte direita da equação:
Agora, vamos isolar
para facilitar a resolução:
Passo 3
Essa forma nos lembra a equação padrão da EDO de Clairaut, que é:
No nosso caso,
. A solução geral para uma EDO de Clairaut é dada por:
onde
é uma constante.
Passo 4
Agora, vamos verificar se existe uma solução singular. Para isso, precisamos derivar a equação original em relação a
e encontrar condições que nos deem essa solução especial.
Derivando ambos os lados da equação original:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja válida, devemos ter:
Integrando essa segunda derivada, obtemos uma solução particular:
Essa é a solução singular da EDO.
Resposta
A solução geral da equação é
. Não há solução singular além do ponto
, que é uma solução particular.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
Sherlock Holmes e seu assistente Dr. Watson discutem o assassinato do ator Cornelius McHam. Ele foi ferido à bala na cabeça e o seu ator substituto, Barry Moore, foi encontrado sobre o corpo com a arma assassina na mão. Vamos escutá-los:
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de e também anotou que a temperatura do termômetro da sala era de
, às 11 h 06 min da noite o legista fez outra anotação de que a temperatura do corpo era de
. Uma vez que a temperatura normal do corpo é de
F, e como Moore estava no palco das 6 h às 08 h da noite, Moore é obviamente inocente.
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Watson: Caso aberto e fechado - Moore é o assassino.
Holmes: Não vá tão depressa, Watson - você está esquecendo a Lei de Resfriamento de Newton!
Watson: O quê?
Holmes: Elementar, meu caro Watson - Moore foi encontrado sobre McHam as 10h06min da noite e o legista anotou a temperatura do corpo do morto de
Watson: O quê?
Holmes: Às vezes, você é tão obtuso, Watson. Peça pra qualquer estudante de cálculo para resolver isto pra você.
Watson: Hum…
Como é que Holmes sabia que Moore era inocente?
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: ,
tal que
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: tal que
.
Res.: