Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
d/y + y = x * y^(3/4)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli dada por:
Este tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais, mais especificamente às equações de Bernoulli. Para resolver, precisamos utilizar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de Bernoulli:
Aqui, , e .

Passo 3

Como a equação de Bernoulli tem , fazemos a substituição:
Isso simplifica a equação.

Passo 4

Derivamos em relação a :
Resolviendo para :

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Como , substituímos na equação:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Para resolver a equação linear , reescrevemos como:
Identificamos o fator integrante:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
Usamos a integração por partes para resolver a integral.

Passo 10

Aplicando integração por partes onde e :

Passo 11

Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 12

Lembrando que , temos:
Elevamos ambos os lados à quarta potência para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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