Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli dada por:
Este tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais, mais especificamente às equações de Bernoulli. Para resolver, precisamos utilizar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de Bernoulli:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Como a equação de Bernoulli tem
, fazemos a substituição:
Isso simplifica a equação.
Passo 4
Derivamos
em relação a
:
Resolviendo para
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação original:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Como
, substituímos na equação:
Agora, temos uma equação linear em termos de
.
Passo 7
Para resolver a equação linear
, reescrevemos como:
Identificamos o fator integrante:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada do produto
:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a
:
Usamos a integração por partes para resolver a integral.
Passo 10
Aplicando integração por partes onde
e
:
Passo 11
Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 12
Lembrando que
, temos:
Elevamos ambos os lados à quarta potência para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
, tal que
Res.:
Mostre que
é contínua na origem.
Mostre que
é contínua em qualquer p
.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: tal que
.
Res.: