Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
d/y + y = x * y^(3/4)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de Bernoulli dada por:
Este tipo de equação pertence à matéria de equações diferenciais, mais especificamente às equações de Bernoulli. Para resolver, precisamos utilizar uma substituição que simplifica a equação para uma forma linear.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a equação está na forma padrão de Bernoulli:
Aqui, , e .

Passo 3

Como a equação de Bernoulli tem , fazemos a substituição:
Isso simplifica a equação.

Passo 4

Derivamos em relação a :
Resolviendo para :

Passo 5

Substituímos e na equação original:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Como , substituímos na equação:
Agora, temos uma equação linear em termos de .

Passo 7

Para resolver a equação linear , reescrevemos como:
Identificamos o fator integrante:

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo se torna a derivada do produto :

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a :
Usamos a integração por partes para resolver a integral.

Passo 10

Aplicando integração por partes onde e :

Passo 11

Substituindo de volta na equação:
Dividimos ambos os lados por :

Passo 12

Lembrando que , temos:
Elevamos ambos os lados à quarta potência para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x * dy/dx + 1/(2 - dy/dx)
y = C x + 1/(2 - C), tal que {x = -1/(p-2)^{2}, y = 2(1-p)/(p-2)^{2}}
Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é contínua na origem.
Mostre que f(x, y, z) = x + y - z é contínua em qualquer p (x0, y0, z0).
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y/d x) - 1/(d y/d x) tal que y = C x - 1/C ; {x = -1/p^2, y = -2/p}.