Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y/d x) - 1/(d y/d x) tal que y = C x - 1/C ; {x = -1/p^2, y = -2/p}.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. A EDO que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO de Clairaut e como encontrar suas soluções geral e singular. Então, vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Clairaut. Ela tem a forma geral:
Onde e é uma função de . No nosso caso, comparando com a equação dada:
Aqui, .

Passo 3

Para encontrar a solução geral, seguimos a fórmula padrão para EDOs de Clairaut. A solução geral é dada por:
Onde é uma constante arbitrária. Substituindo na nossa equação:
Essa é a solução geral da nossa EDO de Clairaut.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a solução singular. A solução singular é uma solução especial que não faz parte da família de soluções gerais, e geralmente é obtida eliminando o parâmetro .
Primeiro, derivamos a solução geral em relação a :
Agora, substituímos na equação original da EDO:
Para eliminar , vamos expressar em termos de e . A partir da derivada, sabemos que . Vamos considerar , então:

Passo 5

Para encontrar a solução singular, buscamos uma relação entre e que não dependa de . Fazemos isso derivando a equação acima em relação a :
Simplificando:
Isolando :
Para que essa equação seja verdadeira, ou ou . A solução singular ocorre quando :

Passo 6

Agora, substituímos na equação da solução geral para encontrar :
Substituindo :

Resposta

A solução geral da EDO é:
A solução singular é dada por:
Onde .

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