Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
tal que
.
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar tanto a solução geral quanto a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. A EDO que vamos resolver é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma EDO de Clairaut e como encontrar suas soluções geral e singular. Então, vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma EDO de Clairaut. Ela tem a forma geral:
Onde
e
é uma função de
. No nosso caso, comparando com a equação dada:
Aqui,
.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, seguimos a fórmula padrão para EDOs de Clairaut. A solução geral é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária. Substituindo
na nossa equação:
Essa é a solução geral da nossa EDO de Clairaut.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a solução singular. A solução singular é uma solução especial que não faz parte da família de soluções gerais, e geralmente é obtida eliminando o parâmetro
.
Primeiro, derivamos a solução geral em relação a
:
Agora, substituímos
na equação original da EDO:
Para eliminar
, vamos expressar
em termos de
e
. A partir da derivada, sabemos que
. Vamos considerar
, então:
Passo 5
Para encontrar a solução singular, buscamos uma relação entre
e
que não dependa de
. Fazemos isso derivando a equação acima em relação a
:
Simplificando:
Isolando
:
Para que essa equação seja verdadeira, ou
ou
. A solução singular ocorre quando
:
Passo 6
Agora, substituímos
na equação da solução geral para encontrar
:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da EDO é:
A solução singular é dada por:
Onde
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é contínua em qualquer p
.
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}\left(\frac{d y}{d x}+1\right)$$
Res.:
$ \left{x=-(2 p+1), y=-p^{2}\right}$, tal que
Res.: