Mostre que f(x, y, z) = x + y - z é contínua em qualquer p (x0, y0, z0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é contínua em qualquer ponto . Isso está ligado ao estudo de continuidade de funções em várias variáveis, e para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, ao aproximar os valores das variáveis desse ponto, o valor da função também se aproxima do valor da função naquele ponto. Em termos mais formais, para a nossa função , queremos que:
Isso quer dizer que quando se aproxima de , o valor de se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Substituindo os valores de por , temos:
Então, nosso objetivo é mostrar que .

Passo 4

Vamos calcular o limite da função quando se aproxima de :
Podemos separar esse limite em partes, já que limites de somas são a soma dos limites:
Sabemos que:

Passo 5

Substituindo esses limites na expressão anterior, temos:
Isso mostra que:
Portanto, de acordo com a definição de continuidade, a função é contínua em qualquer ponto .

Resposta

A função é contínua em qualquer ponto .

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Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
d/y + y = x * y^(3/4)
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x * dy/dx + 1/(2 - dy/dx)
y = C x + 1/(2 - C), tal que {x = -1/(p-2)^{2}, y = 2(1-p)/(p-2)^{2}}
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x (d y/d x) - 1/(d y/d x) tal que y = C x - 1/C ; {x = -1/p^2, y = -2/p}.
Diferencie as seguintes funções trigonométricas:
f(x) = -cos(x)