Mostre que
é contínua em qualquer p
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é contínua em qualquer ponto
. Isso está ligado ao estudo de continuidade de funções em várias variáveis, e para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, ao aproximar os valores das variáveis desse ponto, o valor da função também se aproxima do valor da função naquele ponto. Em termos mais formais, para a nossa função
, queremos que:
Isso quer dizer que quando
se aproxima de
, o valor de
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo os valores de
por
, temos:
Então, nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
:
Podemos separar esse limite em partes, já que limites de somas são a soma dos limites:
Sabemos que:
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão anterior, temos:
Isso mostra que:
Portanto, de acordo com a definição de continuidade, a função
é contínua em qualquer ponto
.
Resposta
A função
é contínua em qualquer ponto
.