Mostre que
é contínua em qualquer p
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é contínua em qualquer ponto
. Isso está ligado ao estudo de continuidade de funções em várias variáveis, e para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, ao aproximar os valores das variáveis desse ponto, o valor da função também se aproxima do valor da função naquele ponto. Em termos mais formais, para a nossa função
, queremos que:
Isso quer dizer que quando
se aproxima de
, o valor de
se aproxima de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Substituindo os valores de
por
, temos:
Então, nosso objetivo é mostrar que
.
Passo 4
Vamos calcular o limite da função
quando
se aproxima de
:
Podemos separar esse limite em partes, já que limites de somas são a soma dos limites:
Sabemos que:
Passo 5
Substituindo esses limites na expressão anterior, temos:
Isso mostra que:
Portanto, de acordo com a definição de continuidade, a função
é contínua em qualquer ponto
.
Resposta
A função
é contínua em qualquer ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
, tal que
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}$$
Res.: tal que
.
Res.:
Diferencie as seguintes funções trigonométricas: