Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
. Para isso, montamos a equação característica, que é obtida substituindo
:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, encontramos as raízes:
Como o discriminante
é zero, temos uma raiz dupla:
Passo 4
Com uma raiz dupla
, a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea
. Observando o termo do lado direito,
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para encontrar uma solução particular adequada. Vamos tentar:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Parece que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo constante:
Repetindo o processo, encontramos que
.
Passo 6
Com
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial
.
Resolva o PVI