Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . O assunto aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para encontrar a solução geral. Precisamos primeiro resolver a equação homogênea associada e depois encontrar uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea: . Para isso, montamos a equação característica, que é obtida substituindo :

Passo 3

Resolvendo a equação característica , encontramos as raízes:
Como o discriminante é zero, temos uma raiz dupla:

Passo 4

Com uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea . Observando o termo do lado direito, , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular adequada. Vamos tentar:
Derivando:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Parece que precisamos ajustar nossa suposição. Vamos tentar incluir um termo constante:
Repetindo o processo, encontramos que .

Passo 6

Com , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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