Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (E.D.O) lineares homogêneas que foi passado. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz, que vão nos ajudar a construir a solução geral do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de
que satisfazem a equação:
Onde
é a matriz dada e
é a matriz identidade. Então, vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Expandindo o produto:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os autovalores. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Então, os autovalores complexos são:
Passo 4
Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral para cada componente das soluções é:
Onde
é a parte real do autovalor,
é a parte imaginária,
e
são constantes, e
é o vetor próprio associado.
No nosso caso,
e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor próprio
associado a um dos autovalores, por exemplo,
.
Resolvemos
:
Substituindo
:
Simplificando:
Resolvendo isso, encontramos que
e
.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial
.