Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias (E.D.O) lineares homogêneas que foi passado. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz, que vão nos ajudar a construir a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Os autovalores são valores de que satisfazem a equação:
Onde é a matriz dada e é a matriz identidade. Então, vamos calcular o determinante:
Calculando o determinante:
Expandindo o produto:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar os autovalores. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Então, os autovalores complexos são:

Passo 4

Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema será uma combinação de funções exponenciais e trigonométricas. A fórmula geral para cada componente das soluções é:
Onde é a parte real do autovalor, é a parte imaginária, e são constantes, e é o vetor próprio associado.
No nosso caso, e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor próprio associado a um dos autovalores, por exemplo, .
Resolvemos :
Substituindo :
Simplificando:
Resolvendo isso, encontramos que e .

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial .