Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas onde:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) linear homogênea do tipo , onde é uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sistemas lineares de E.D.O, encontrar os autovalores e autovetores da matriz .

Passo 2

O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz . Autovalores são valores de que satisfazem a equação característica , onde é a matriz identidade.
Para a matriz dada:
A equação característica fica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos onde é o autovetor.
Para :
Resolvendo:
Podemos escolher , então o autovetor é .
Para :
Resolvendo:
Podemos escolher , então o autovetor é .

Passo 4

Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada autovalor e autovetor contribuem com uma solução da forma .
Portanto, a solução geral é:
onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde e são constantes quaisquer.

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(Use o método dos coeficientes indeterminados)