Determine a solução geral das seguintes E.D.O lineares homogêneas
onde:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a solução geral de uma Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) linear homogênea do tipo
, onde
é uma matriz específica. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre sistemas lineares de E.D.O, encontrar os autovalores e autovetores da matriz
.
Passo 2
O próximo passo é encontrar os autovalores da matriz
. Autovalores são valores de
que satisfazem a equação característica
, onde
é a matriz identidade.
Para a matriz dada:
A equação característica fica:
Calculando o determinante:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
onde
é o autovetor.
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Para
:
Resolvendo:
Podemos escolher
, então o autovetor é
.
Passo 4
Com os autovalores e autovetores encontrados, podemos escrever a solução geral do sistema. Cada autovalor e autovetor contribuem com uma solução da forma
.
Portanto, a solução geral é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral do sistema é:
onde
e
são constantes quaisquer.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral do sistema
se
.
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)