Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja,
.
Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo
por
:
Vamos fatorar esse polinômio:
Então, as raízes são
(de multiplicidade 2) e
.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa
.
O lado direito da equação tem dois termos:
e
. Vamos encontrar
para cada um separadamente e depois somar.
Solução para
:
Como
já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para não repetir as soluções. Vamos supor:
Solução para
:
Para um termo constante, assumimos que a solução particular também é uma constante:
Passo 5
Vamos determinar os valores de
e
substituindo
e
na equação diferencial.
Determinando
:
Substituindo
na equação:
Determinando
:
Substituindo
na equação diferencial:
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, juntando as soluções particulares:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Resolva o PVI
Resolva os sistemas a seguir