Use o método dos coeficientes indeterminados para determinar a solução geral da equação diferencial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, .
Para isso, encontramos a equação característica, que é uma equação polinomial obtida substituindo por :
Vamos fatorar esse polinômio:
Então, as raízes são (de multiplicidade 2) e .

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa .
O lado direito da equação tem dois termos: e . Vamos encontrar para cada um separadamente e depois somar.

Solução para :

Como já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para não repetir as soluções. Vamos supor:

Solução para :

Para um termo constante, assumimos que a solução particular também é uma constante:

Passo 5

Vamos determinar os valores de e substituindo e na equação diferencial.

Determinando :

Substituindo na equação:

Determinando :

Substituindo na equação diferencial:
Primeiro, calculemos as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 6

Agora, juntando as soluções particulares:

Passo 7

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações dadas a seguir:
(Use o método dos coeficientes indeterminados)
Determine a solução geral dos seguintes de E.D.O lineares homogêneas:
Resolva o PVI
Resolva os sistemas a seguir