Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Para isso, precisamos entender como encontrar a solução geral dessas equações usando a teoria de equações características.

Passo 2

Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação de diferença. Isso é feito substituindo por , onde é uma constante que vamos descobrir. Então, a equação fica:
Dividindo todos os termos por (assumindo ), temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Como as raízes são complexas e conjugadas, a solução geral da equação de diferença vai envolver funções exponenciais e seno/cosseno. A fórmula geral para essas raízes é:
Onde e são constantes que determinaremos com condições iniciais. Substituindo e , temos:

Passo 5

Para simplificar, podemos expressar em termos de exponenciais usando a fórmula de De Moivre. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de :
Então,
E similarmente,

Passo 6

Substituindo de volta na solução geral:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Para que seja real, e devem ser complexos conjugados ou ajustados de forma que os termos imaginários se cancelem. Geralmente, redefinimos as constantes para incorporar isso.

Passo 7

Finalizando, a solução geral real da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é , onde e são constantes.

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Seja uma função diferenciável. Calcule
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :