Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
. Para isso, precisamos entender como encontrar a solução geral dessas equações usando a teoria de equações características.
Passo 2
Primeiro, a gente monta a equação característica associada à equação de diferença. Isso é feito substituindo
por
, onde
é uma constante que vamos descobrir. Então, a equação fica:
Dividindo todos os termos por
(assumindo
), temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática
para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes são complexas e conjugadas, a solução geral da equação de diferença vai envolver funções exponenciais e seno/cosseno. A fórmula geral para essas raízes é:
Onde
e
são constantes que determinaremos com condições iniciais. Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Para simplificar, podemos expressar
em termos de exponenciais usando a fórmula de De Moivre. Primeiro, calculamos o módulo e o argumento de
:
Então,
E similarmente,
Passo 6
Substituindo de volta na solução geral:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Para que
seja real,
e
devem ser complexos conjugados ou ajustados de forma que os termos imaginários se cancelem. Geralmente, redefinimos as constantes para incorporar isso.
Passo 7
Finalizando, a solução geral real da equação de diferença é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
e
são constantes.
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Seja
uma função diferenciável. Calcule
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