Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes que você me passou: . O conteúdo aqui envolve equações de diferença, que são como as equações diferenciais, mas para sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica. Para uma equação de diferença da forma , a equação característica é . No nosso caso, a equação é , então os coeficientes são e .

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na equação característica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de .

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla .

Passo 5

Como a equação característica tem uma raiz dupla , a solução geral da equação de diferença será:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:

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