Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes que você me passou:
. O conteúdo aqui envolve equações de diferença, que são como as equações diferenciais, mas para sequências. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar e resolver a equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica. Para uma equação de diferença da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então os coeficientes são
e
.
Passo 3
Agora, vamos substituir esses valores na equação característica:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar os valores de
.
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, temos uma raiz dupla
.
Passo 5
Como a equação característica tem uma raiz dupla
, a solução geral da equação de diferença será:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
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