Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Nesse tipo de problema, usamos conceitos de equações diferenciais e buscamos a solução geral usando métodos de características. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica substituindo
por
. Para nossa equação:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar as raízes
.
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Passo 4
Calculando o discriminante:
Como o discriminante
é negativo, as raízes serão complexas.
Passo 5
As raízes serão:
Passo 6
Quando as raízes são complexas da forma
, a solução geral da equação de diferença é:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 7
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A solução geral da equação é:
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Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial