Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Nesse tipo de problema, usamos conceitos de equações diferenciais e buscamos a solução geral usando métodos de características. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica substituindo por . Para nossa equação:
Essa é uma equação quadrática que vamos resolver para encontrar as raízes .

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:

Passo 4

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes serão complexas.

Passo 5

As raízes serão:

Passo 6

Quando as raízes são complexas da forma , a solução geral da equação de diferença é:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A solução geral da equação é:

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Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial