Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem:
. Esse tipo de equação está dentro do estudo das equações de diferença lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, como não temos o termo
,
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Aqui, encontramos raízes complexas conjugadas.
Passo 4
Quando as raízes são complexas conjugadas da forma
, a solução geral da equação de diferença é dada por:
No nosso caso,
e
, então
e
.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na fórmula da solução geral, temos:
Simplificando
:
Resposta
A solução geral da equação
é:
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Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
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lembrando que sen