Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença de segunda ordem: . Esse tipo de equação está dentro do estudo das equações de diferença lineares homogêneas com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação de diferença. Para uma equação de segunda ordem da forma , a equação característica é . No nosso caso, como não temos o termo , e . Assim, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Aqui, encontramos raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Quando as raízes são complexas conjugadas da forma , a solução geral da equação de diferença é dada por:
No nosso caso, e , então e .

Passo 5

Substituindo os valores de e na fórmula da solução geral, temos:
Simplificando :

Resposta

A solução geral da equação é:

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