Verifique se a função
é uma solução da equação diferencial parcial
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisa verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, e depois substituir esses valores na equação para ver se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função
tem duas partes:
e
.
A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é:
Então, a primeira derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Vamos derivar novamente
em relação a
:
Derivando cada termo:
Então, a segunda derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
. Primeiro, derivamos
em relação a
:
Derivando cada termo:
Então:
Agora, derivamos novamente em relação a
para obter a segunda derivada:
Derivando cada termo:
Então:
Passo 5
Agora que temos as segundas derivadas parciais, vamos substituir na equação diferencial parcial dada:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.
Resposta
Sim, a função
é uma solução da equação diferencial parcial dada.
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lembrando que sen
Seja
, com
. Prove que