Verifique se a função f(x, y)=e^[x y mid+ln (2 y^2x^2) é uma solução da equação diferencial parcial
xy cdot partial^2 fpartial x^2+yx cdot partial^2 fpartial y^2=2 x y e^(x y)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função xy cdot partial^2 fpartial x^2 + yx cdot partial^2 fpartial y^2 = 2xy e^xy e precisa verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois substituir esses valores na equação para ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partialpartial x e^xy = y e^xy em relação a partialpartial x ln(2y^2x^2) = partialpartial x ( ln(2y^2) - ln(x^2) ) = -2x . A função partial fpartial x = y e^xy - 2x tem duas partes: e .
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:
Então, a primeira derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x ( y e^xy - 2x ) em relação a partialpartial x ( y e^xy ) = y^2 e^xy . Vamos derivar novamente partialpartial x ( -2x ) = 2x^2 em relação a partial^2 fpartial x^2 = y^2 e^xy + 2x^2 :
Derivando cada termo:
Então, a segunda derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( e^xy + ln(2y^2x^2) ) em relação a partialpartial y e^xy = x e^xy . Primeiro, derivamos partialpartial y ln(2y^2x^2) = 4y2y^2 = 2y em relação a partial fpartial y = x e^xy + 2y :
partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y ( x e^xy + 2y )
Derivando cada termo:
partialpartial y ( x e^xy ) = x^2 e^xy
partialpartial y ( 2y ) = -2y^2
Então:
partial^2 fpartial y^2 = x^2 e^xy - 2y^2
Agora, derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada:
Derivando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas parciais, vamos substituir na equação diferencial parcial dada:
xy cdot partial^2 fpartial x^2 + yx cdot partial^2 fpartial y^2 = 2xy e^xy
Substituindo:
xy cdot ( y^2 e^xy + 2x^2 ) + yx cdot ( x^2 e^xy - 2y^2 ) = 2xy e^xy
Vamos simplificar cada termo:
xy cdot y^2 e^xy = xy e^xy
xy cdot 2x^2 = 2x y
yx cdot x^2 e^xy = xy e^xy
yx cdot ( -2y^2 ) = -2x y
Então, a equação fica:
xy e^xy + 2x y + xy e^xy - 2x y = 2xy e^xy
Os termos 2xy e^xy = 2xy e^xy e se cancelam, restando:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada.

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