Verifique se a função é uma solução da equação diferencial parcial

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa verificar se ela satisfaz a equação diferencial parcial dada por:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , e depois substituir esses valores na equação para ver se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . A função tem duas partes: e .
A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é:
Então, a primeira derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Vamos derivar novamente em relação a :
Derivando cada termo:
Então, a segunda derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada parcial de em relação a . Primeiro, derivamos em relação a :
Derivando cada termo:
Então:
Agora, derivamos novamente em relação a para obter a segunda derivada:
Derivando cada termo:
Então:

Passo 5

Agora que temos as segundas derivadas parciais, vamos substituir na equação diferencial parcial dada:
Substituindo:
Vamos simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Os termos e se cancelam, restando:
Isso confirma que a igualdade é verdadeira.

Resposta

Sim, a função é uma solução da equação diferencial parcial dada.

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