Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para determinar a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes de ordem 2. Olha só o enunciado:
Isso significa que vamos trabalhar com equações de recorrência de segunda ordem, que aparecem muito em matemática e em áreas como economia e ciência da computação. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica e encontrar suas raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação de diferença de segunda ordem com coeficientes constantes. Ela relaciona um termo com os dois anteriores, e os coeficientes (números que multiplicam os termos) permanecem os mesmos. A ideia é encontrar uma solução geral que descreva todos os possíveis comportamentos dessa sequência.
Passo 3
Para resolver essa equação, a gente usa a equação característica. É uma técnica que transforma a equação de diferença em uma equação algébrica. Para uma equação de segunda ordem, a equação característica tem a forma:
Onde a e b são os coeficientes da equação de diferença. No nosso caso, temos:
Então, nossa equação característica fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática pra achar as raízes r₁ e r₂. A gente pode usar a fórmula de resolução de equações do segundo grau:
Aqui, a = 1, b = 6 e c = 10. Substituindo esses valores:
Então, as raízes são complexas: -3 + i e -3 - i.
Passo 5
Quando a equação característica tem raízes complexas da forma α ± βi, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde:
- λ = e^{α} é a parte real das raízes.
- θ = \beta é a parte imaginária.
- C₁ e C₂ são constantes que determinam as condições iniciais.
No nosso caso, α = -3 e β = 1. Então:
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
Onde C₁ e C₂ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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