Determine a variação de portadores ao longo do tempo considerando que :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar como os portadores variam ao longo do tempo, representado por . Sabemos que no tempo inicial, quando , a quantidade de portadores é . Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e como elas descrevem esse tipo de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma variação exponencial. Quando uma quantidade diminui ou aumenta de forma que a taxa de mudança é proporcional ao valor atual, a gente usa uma função exponencial. No nosso caso, a variação dos portadores ao longo do tempo segue uma taxa de decaimento proporcional a .

Passo 3

A equação que descreve essa situação é:
Aqui:
  • é a quantidade de portadores no tempo .
  • é a quantidade inicial de portadores.
  • é a taxa de decaimento.
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.

Passo 4

Para entender por que essa fórmula funciona, vamos derivar a equação. Sabemos que a taxa de mudança de em relação ao tempo é proporcional a :
Isso é uma equação diferencial simples que descreve um decaimento exponencial. A solução dessa equação é justamente a função exponencial que escrevemos antes.

Passo 5

Para resolver a equação diferencial, integramos ambos os lados:
O que resulta em:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como , substituímos :
Então, a solução final é:

Resposta

A variação dos portadores ao longo do tempo é dada por .

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