Determine a variação de portadores ao longo do tempo
considerando que
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar como os portadores variam ao longo do tempo, representado por
. Sabemos que no tempo inicial, quando
, a quantidade de portadores é
. Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e como elas descrevem esse tipo de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma variação exponencial. Quando uma quantidade diminui ou aumenta de forma que a taxa de mudança é proporcional ao valor atual, a gente usa uma função exponencial. No nosso caso, a variação dos portadores ao longo do tempo segue uma taxa de decaimento proporcional a
.
Passo 3
A equação que descreve essa situação é:
Aqui:
-
é a quantidade de portadores no tempo . -
é a quantidade inicial de portadores. -
é a taxa de decaimento. -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828.
Passo 4
Para entender por que essa fórmula funciona, vamos derivar a equação. Sabemos que a taxa de mudança de
em relação ao tempo é proporcional a
:
Isso é uma equação diferencial simples que descreve um decaimento exponencial. A solução dessa equação é justamente a função exponencial que escrevemos antes.
Passo 5
Para resolver a equação diferencial, integramos ambos os lados:
O que resulta em:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
, substituímos
:
Então, a solução final é:
Resposta
A variação dos portadores ao longo do tempo é dada por
.
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