Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma:
Aqui, é uma constante que precisamos determinar. Essa suposição nos ajuda a transformar a equação de diferença em uma equação algébrica mais simples.

Passo 3

Agora, substituímos na equação original:
Substituindo:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

A equação que temos agora é chamada de equação característica:
Resolvendo para :
Assim, encontramos duas raízes distintas: e .

Passo 5

Como temos duas raízes distintas, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Aqui, e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais adicionais.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:

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Determine a variação de portadores ao longo do tempo considerando que :
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