Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar a solução geral de uma equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos usar o método das equações características, que é uma ferramenta poderosa para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução tem a forma:
Aqui,
é uma constante que precisamos determinar. Essa suposição nos ajuda a transformar a equação de diferença em uma equação algébrica mais simples.
Passo 3
Agora, substituímos
na equação original:
Substituindo:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
A equação que temos agora é chamada de equação característica:
Resolvendo para
:
Assim, encontramos duas raízes distintas:
e
.
Passo 5
Como temos duas raízes distintas, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais adicionais.
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
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Determine a variação de portadores ao longo do tempo
considerando que
:
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