Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 : y_{n+2} + y_{n+1} + y_{n} = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Isso faz parte da matéria de equações de diferença, que são tipo as versões discretas das equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos que envolvem polinômios características.

Passo 2

Primeiro, a gente vai montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é encontrada substituindo por na equação original. Então, temos:
Agora, podemos dividir todos os termos por (desde que ), o que simplifica para:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde, nesse caso, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Vimos que os valores de são complexos: . Quando as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da equação de diferença é dada por:
Onde:
  • é o módulo das raízes.
  • é o argumento das raízes.
  • e são constantes que determinam as condições iniciais.

Passo 5

Vamos identificar e para nossas raízes. Escrevendo na forma :

Passo 6

Substituindo e na fórmula da solução geral:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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