Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Isso faz parte da matéria de equações de diferença, que são tipo as versões discretas das equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos que envolvem polinômios características.

Passo 2

Primeiro, a gente vai montar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é encontrada substituindo por na equação original. Então, temos: Agora, podemos dividir todos os termos por (desde que ), o que simplifica para:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara: Onde, nesse caso, , e . Substituindo esses valores:

Passo 4

Vimos que os valores de são complexos: . Quando as raízes são complexas conjugadas, a solução geral da equação de diferença é dada por: Onde: - é o módulo das raízes. - é o argumento das raízes. - e são constantes que determinam as condições iniciais.

Passo 5

Vamos identificar e para nossas raízes. Escrevendo na forma :

Passo 6

Substituindo e na fórmula da solução geral:

Resposta

A solução geral da equação de diferença é: Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

Exercícios relacionados

Determine a variação de portadores ao longo do tempo considerando que :
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Utilizando o método da eliminação, determine a solução do seguinte sistema de EDOs:
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :