Utilizando o método da eliminação, determine a solução do seguinte sistema de EDOs:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de EDOs dado utilizando o método da eliminação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar isolar uma das variáveis e substituir na outra equação para encontrar as soluções para e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação em termos de apenas uma função.
Passo 3
Vamos isolar na primeira equação. Reescrevendo a primeira equação:
Agora temos em termos de e .
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de na segunda equação:
Isso nos dará uma equação envolvendo apenas e suas derivadas.
Passo 5
Calculando a derivada da expressão para :
Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Simplificando:
Rearranjando os termos:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para .
Passo 6
Resolvemos a equação característica associada:
Calculando os valores de usando a fórmula quadrática:
Como as raízes são complexas, a solução geral para é:
Passo 7
Com encontrada, usamos a expressão de que obtivemos anteriormente:
Calculamos :
Substituindo e na expressão para , simplificamos para obter .
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .
Para :
Para :
Calculamos usando a expressão de e substituímos para encontrar .
Passo 9
Após encontrar e , substituímos de volta nas expressões de e para obter as soluções finais.