Utilizando o método da eliminação, determine a solução do seguinte sistema de EDOs:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de EDOs dado utilizando o método da eliminação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar isolar uma das variáveis e substituir na outra equação para encontrar as soluções para e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x' = 2x - 2y y' = -3x + y
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação em termos de apenas uma função.
Passo 3
Vamos isolar x' = 2x - 2y implies y = 2x - x'2 na primeira equação. Reescrevendo a primeira equação:
Agora temos em termos de e .
Passo 4
Agora, substituímos essa expressão de y' = -3x + y implies (2x - x'2)' = -3x + 2x - x'2 na segunda equação:
Isso nos dará uma equação envolvendo apenas e suas derivadas.
Passo 5
Calculando a derivada da expressão para (2x - x'2)' = 2x' - x''2 :
2x' - x''2 = -3x + 2x - x'2
Substituindo na equação:
2x' - x'' = -6x + 2x - x'
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
-x'' + 2x' = -4x - x'
Simplificando:
x'' - 3x' + 4x = 0
Rearranjando os termos:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para .
Passo 6
Resolvemos a equação característica associada:
r^2 - 3r + 4 = 0
Calculando os valores de r = 3 pm raiz9 - 162 = 3 pm raiz-72 = 32 pm raiz72i usando a fórmula quadrática: