Utilizando o método da eliminação, determine a solução do seguinte sistema de EDOs:
c l x^prime=2 x-2 y y^prime=-3 x+y x(0)=5 y(0)=0

Passo 1

Vamos resolver o sistema de EDOs dado utilizando o método da eliminação. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar isolar uma das variáveis e substituir na outra equação para encontrar as soluções para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x' = 2x - 2y y' = -3x + y
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para encontrar uma equação em termos de apenas uma função.

Passo 3

Vamos isolar x' = 2x - 2y implies y = 2x - x'2 na primeira equação. Reescrevendo a primeira equação:
Agora temos em termos de e .

Passo 4

Agora, substituímos essa expressão de y' = -3x + y implies (2x - x'2)' = -3x + 2x - x'2 na segunda equação:
Isso nos dará uma equação envolvendo apenas e suas derivadas.

Passo 5

Calculando a derivada da expressão para (2x - x'2)' = 2x' - x''2 :
2x' - x''2 = -3x + 2x - x'2
Substituindo na equação:
2x' - x'' = -6x + 2x - x'
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
-x'' + 2x' = -4x - x'
Simplificando:
x'' - 3x' + 4x = 0
Rearranjando os termos:
Agora temos uma equação diferencial de segunda ordem para .

Passo 6

Resolvemos a equação característica associada:
r^2 - 3r + 4 = 0
Calculando os valores de r = 3 pm raiz9 - 162 = 3 pm raiz-72 = 32 pm raiz72i usando a fórmula quadrática:
x(t) = e^32t ( C1 cos(raiz72 t) + C2 sin(raiz72 t) )
Como as raízes são complexas, a solução geral para é:

Passo 7

Com y = 2x - x'2 encontrada, usamos a expressão de x' = 32 e^32t ( C1 cos(raiz72 t) + C2 sin(raiz72 t) ) + e^32t ( -C1 raiz72 sin(raiz72 t) + C2 raiz72 cos(raiz72 t) ) que obtivemos anteriormente:
Calculamos :
Substituindo e na expressão para , simplificamos para obter .

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais 5 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) implies 5 = C1 e 0 = 2 cdot 5 - x'(0)2 para encontrar os valores das constantes e .
Para :
Para :
Calculamos usando a expressão de e substituímos para encontrar .

Passo 9

Após encontrar e , substituímos de volta nas expressões de e para obter as soluções finais.

Resposta

As soluções do sistema são:
x(t) = 5 e^32t cos(raiz72 t)
y(t) = e^32t ( 10raiz7 sin(raiz72 t) )

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