Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem: . Esse tipo de equação faz parte da matéria de equações de recorrência ou equações de diferença. Para resolver, a gente vai precisar usar métodos que envolvem encontrar raízes características e montar a solução geral com base nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma forma polinomial que a gente obtém substituindo por .
Então, substituindo na equação original:
Podemos dividir todos os termos por (assumindo ) para simplificar:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
As raízes são reais e distintas.
Passo 4
Com as raízes e , a solução geral da equação de diferença homogênea é dada por uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência . Ou seja:
Onde e são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se conhecêssemos.