Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem:
. Esse tipo de equação faz parte da matéria de equações de recorrência ou equações de diferença. Para resolver, a gente vai precisar usar métodos que envolvem encontrar raízes características e montar a solução geral com base nelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma forma polinomial que a gente obtém substituindo
por
.
Então, substituindo na equação original:
Podemos dividir todos os termos por
(assumindo
) para simplificar:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
As raízes são reais e distintas.
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação de diferença homogênea é dada por uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência
. Ou seja:
Onde
e
são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se conhecêssemos.
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
Ou simplificando:
Onde
e
são constantes.