Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença linear homogênea de segunda ordem: . Esse tipo de equação faz parte da matéria de equações de recorrência ou equações de diferença. Para resolver, a gente vai precisar usar métodos que envolvem encontrar raízes características e montar a solução geral com base nelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação característica associada à nossa equação de diferença. A equação característica é uma forma polinomial que a gente obtém substituindo por .
Então, substituindo na equação original:
Podemos dividir todos os termos por (assumindo ) para simplificar:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica . Para isso, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são:
As raízes são reais e distintas.

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação de diferença homogênea é dada por uma combinação linear dessas raízes elevadas à potência . Ou seja:
Onde e são constantes que seriam determinadas por condições iniciais, se conhecêssemos.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Ou simplificando:
Onde e são constantes.

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