Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a solução geral da equação de diferença linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: . Para resolver isso, vamos usar métodos que envolvem encontrar raízes características da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação de diferença. Substituímos por para obter:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática . Para isso, calculamos o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é igual a zero ( ), isso significa que temos duas raízes reais e iguais. Calculamos a raiz:

Passo 5

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla ( ), a solução geral da equação de diferença é dada por:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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