Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral para esse tipo de equação, que geralmente envolve encontrar as raízes de uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de diferença para facilitar. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para se parecerem mais com a forma padrão:

Passo 3

Agora, para resolver isso, usamos a chamada equação característica. Para uma equação de segunda ordem como esta, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:

Passo 4

Dividimos todos os termos por (assumindo que ) para simplificar:
Essa é a nossa equação característica:

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Substituindo:
Então, as duas raízes são:

Passo 6

Com as raízes e , podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Para equações lineares homogêneas com raízes distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Onde e são constantes que dependem das condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação de diferença é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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