Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral para esse tipo de equação, que geralmente envolve encontrar as raízes de uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de diferença para facilitar. A equação dada é:
Podemos reorganizar os termos para se parecerem mais com a forma padrão:
Passo 3
Agora, para resolver isso, usamos a chamada equação característica. Para uma equação de segunda ordem como esta, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo
na equação, temos:
Passo 4
Dividimos todos os termos por
(assumindo que
) para simplificar:
Essa é a nossa equação característica:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Substituindo:
Então, as duas raízes são:
Passo 6
Com as raízes
e
, podemos escrever a solução geral da equação de diferença. Para equações lineares homogêneas com raízes distintas, a solução geral é:
Substituindo os valores das raízes:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação de diferença é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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Resolva o PVI
.
Determine a solução geral das equações de diferença lineares homogênea com coeficientes constantes de ordem 2 :
Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.
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