Resolva o PVI .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes na solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos encontrar a equação característica. Substituímos na equação diferencial:
Resolvendo , encontramos as raízes:
Essas são as quatro raízes da equação característica.

Passo 3

Com as raízes em mãos, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e complexas, a solução geral fica assim:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais do problema.

Passo 4

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar essas constantes. A primeira condição é:
Substituindo na solução geral:
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada da solução geral:
A segunda condição é:
Substituindo :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada:
A terceira condição é:
Substituindo :

Passo 7

Vamos calcular a terceira derivada:
A quarta condição é:
Substituindo :

Passo 8

Agora temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as equações 2 e 4:
Da equação (5):
Substituindo na equação 1:
Agora, substituímos na equação 3:
Agora, somamos as equações 6 e 7:
Substituindo na equação (5):
Agora, com , voltamos à equação 6:
Finalmente, substituímos e na equação 2:

Resposta

Substituindo todas as constantes na solução geral, temos:

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