Resolva o PVI
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de quarta ordem com algumas condições iniciais. Vamos usar conhecimentos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para achar a solução. Para isso, precisamos encontrar as raízes da equação característica e depois usar as condições iniciais para determinar as constantes na solução geral.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação diferencial dada:
Para resolver isso, vamos encontrar a equação característica. Substituímos
na equação diferencial:
Resolvendo
, encontramos as raízes:
Essas são as quatro raízes da equação característica.
Passo 3
Com as raízes em mãos, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como temos raízes reais e complexas, a solução geral fica assim:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais do problema.
Passo 4
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar essas constantes. A primeira condição é:
Substituindo
na solução geral:
Simplificando:
Passo 5
Vamos calcular a primeira derivada da solução geral:
A segunda condição é:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada:
A terceira condição é:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos calcular a terceira derivada:
A quarta condição é:
Substituindo
:
Passo 8
Agora temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, somamos as equações 2 e 4:
Da equação (5):
Substituindo
na equação 1:
Agora, substituímos
na equação 3:
Agora, somamos as equações 6 e 7:
Substituindo
na equação (5):
Agora, com
, voltamos à equação 6:
Finalmente, substituímos
e
na equação 2:
Resposta
Substituindo todas as constantes na solução geral, temos:
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e
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