Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função satisfaz a equação de Laplace. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e a aplicação da equação de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela diz que o Laplaciano de uma função é igual a zero:
Onde o Laplaciano em três dimensões é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular as segundas derivadas de em relação a , e , somá-las e verificar se o resultado é zero.

Passo 3

Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de .
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :
Primeira derivada em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais.
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :
Segunda derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos somar as segundas derivadas para calcular o Laplaciano:
Somando os coeficientes:
Então,

Resposta

A função satisfaz a equação de Laplace, pois .

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