Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e a aplicação da equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela diz que o Laplaciano de uma função
é igual a zero:
Onde o Laplaciano
em três dimensões é dado por:
Então, nosso objetivo é calcular as segundas derivadas de
em relação a
,
e
, somá-las e verificar se o resultado é zero.
Passo 3
Vamos começar calculando as primeiras derivadas parciais de
.
Primeira derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Primeira derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais.
Segunda derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos somar as segundas derivadas para calcular o Laplaciano:
Somando os coeficientes:
Então,
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace, pois
.
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.
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Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equaçã de Laplace.