seja w=f(u)+g(v) uma função diferenciável, onde u(x, t)=x^2+t^2 e v(x, t)=x^2-t^2. Mostre que partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial t^2=4 d fd u+4(x^2+t^2) cdot(d^2 fd u^2+d^2 gd v^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma função diferenciável partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial t^2 = 4 dfdu + 4(x^2 + t^2) (d^2 fd u^2 + d^2 gd v^2) , onde e . Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de partial wpartial x = dfdu cdot partial upartial x + dgdv cdot partial vpartial x em relação a partial wpartial t = dfdu cdot partial upartial t + dgdv cdot partial vpartial t e . Como , aplicamos a regra da cadeia:
E

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial upartial x = 2x e partial upartial t = 2t e partial vpartial x = 2x e partial vpartial t = -2t em relação a e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão das primeiras derivadas de partial wpartial x = dfdu cdot 2x + dgdv cdot 2x = 2x ( dfdu + dgdv ) :
partial wpartial t = dfdu cdot 2t + dgdv cdot (-2t) = 2t ( dfdu - dgdv )

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiramente, a segunda derivada de partial^2 wpartial x^2 = partialpartial x ( 2x ( dfdu + dgdv ) ) em relação a partial^2 wpartial x^2 = 2 ( dfdu + dgdv ) + 2x ( d^2fdu^2 cdot partial upartial x + d^2gdv^2 cdot partial vpartial x ) :
partial^2 wpartial x^2 = 2 ( dfdu + dgdv ) + 2x ( 2x d^2fdu^2 + 2x d^2gdv^2 )
Aplicando a regra do produto:
partial^2 wpartial x^2 = 2 ( dfdu + dgdv ) + 4x^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 )
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Fazemos o mesmo para a segunda derivada de partial^2 wpartial t^2 = partialpartial t ( 2t ( dfdu - dgdv ) ) em relação a partial^2 wpartial t^2 = 2 ( dfdu - dgdv ) + 2t ( d^2fdu^2 cdot partial upartial t - d^2gdv^2 cdot partial vpartial t ) :
partial^2 wpartial t^2 = 2 ( dfdu - dgdv ) + 2t ( 2t d^2fdu^2 + 2t d^2gdv^2 )
Aplicando a regra do produto:
partial^2 wpartial t^2 = 2 ( dfdu - dgdv ) + 4t^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 )
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 7

Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial t^2 = [ 2 ( dfdu + dgdv ) + 4x^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) ] + [ 2 ( dfdu - dgdv ) + 4t^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) ]
Simplificando os termos:
= 2 dfdu + 2 dgdv + 4x^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) + 2 dfdu - 2 dgdv + 4t^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 )
Observamos que = 4 dfdu + 4x^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) + 4t^2 ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) e se cancelam:

Passo 8

Finalmente, podemos fatorar o termo = 4 dfdu + 4 ( x^2 + t^2 ) ( d^2fdu^2 + d^2gdv^2 ) :

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial t^2 = 4 dfdu + 4(x^2 + t^2) ( d^2 fd u^2 + d^2 gd v^2 )

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