seja
uma função diferenciável, onde
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma função diferenciável
, onde
e
. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de
em relação a
e
. Como
, aplicamos a regra da cadeia:
E
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão das primeiras derivadas de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiramente, a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 6
Fazemos o mesmo para a segunda derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
Simplificando os termos:
Observamos que
e
se cancelam:
Passo 8
Finalmente, podemos fatorar o termo
:
Resposta
Portanto, mostramos que: