seja uma função diferenciável, onde . Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma função diferenciável , onde e . Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as primeiras derivadas parciais de em relação a e . Como , aplicamos a regra da cadeia:
E

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão das primeiras derivadas de :

Passo 5

Agora, vamos calcular as segundas derivadas parciais. Primeiramente, a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 6

Fazemos o mesmo para a segunda derivada de em relação a :
Aplicando a regra do produto:
Substituindo e :
Simplificando:

Passo 7

Agora, somamos as duas segundas derivadas que encontramos:
Simplificando os termos:
Observamos que e se cancelam:

Passo 8

Finalmente, podemos fatorar o termo :

Resposta

Portanto, mostramos que:

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Considere a equação Determine a solução geral.
A sequência de números abaixo é conhecida como sequência de Fibonacci: Determine a equação de diferença (e as condições iniciais) gerada a partir dos termos da sequência de Fibonacci.
Determine a solução geral das equações de diferença lineares de ordem 2 :