Determine a solução geral das equações diferenciais exatas
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial exata do tipo
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função
que satisfaça a equação.
Passo 2
Vamos começar identificando as funções
e
na forma
. Então, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se
. Calculando:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é de fato exata.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que ainda precisamos determinar.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então,
Integrando em relação a
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Sendo
uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati
Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região contida no círculo
.
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região do primeiro quadrante contida no círculo
.