Determine a solução geral das equações diferenciais exatas 2(3xy^2 + 2x^3) + 3(2x^2y + y^2) dy/dx = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial exata do tipo . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação, ou seja, uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Vamos começar identificando as funções e na forma . Então, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, precisamos checar se . Calculando:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é de fato exata.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função tal que:
Integrando em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que ainda precisamos determinar.

Passo 5

Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Então,
Integrando em relação a :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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