Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. integral duplaR^R raiz9-x^2-y^2 d A, onde R é a região do primeiro quadrante contida no círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! A parada aqui é calcular integral duplaR raiz9 - x^2 - y^2 , dA, onde a região R está no primeiro quadrante e dentro do círculo x^2 + y^2 = 9. Para isso, vamos trocar pra coordenadas polares e usar algumas fórmulas de integração nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fazer a conversão de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta). Sabemos que:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • A área diferencial dA em polares é r , dr , dtheta
Também, a equação do círculo x^2 + y^2 = 9 em polares fica r = 3, já que r^2 = 9.

Passo 3

Como a região R está no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2. E o raio r varia de 0 até 3 para ficar dentro do círculo. Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
integral0^pi2 integral0^3 raiz9 - r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a r:
integral0^3 r raiz9 - r^2 , dr
Para facilitar essa integração, vamos fazer uma substituição. Seja u = 9 - r^2, então du = -2r , dr, ou seja, r , dr = -12 du.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
- 12 integral9^0 raizu , du = 12 integral0^9 raizu , du
Integrando raizu:
12 cdot 23 u^32 |0^9 = 13 (9^32 - 0) = 13 cdot 27 = 9

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a theta:
integral0^pi2 9 , dtheta = 9 theta |0^pi2 = 9 cdot pi2 = 9pi2

Resposta

9pi2

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