Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. , onde é a região do primeiro quadrante contida no círculo .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! A parada aqui é calcular , onde a região está no primeiro quadrante e dentro do círculo . Para isso, vamos trocar pra coordenadas polares e usar algumas fórmulas de integração nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fazer a conversão de coordenadas cartesianas para polares . Sabemos que:
A área diferencial em polares é
Também, a equação do círculo em polares fica , já que .
Passo 3
Como a região está no primeiro quadrante, o ângulo varia de a . E o raio varia de até para ficar dentro do círculo. Então, a integral dupla em coordenadas polares fica:
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Para facilitar essa integração, vamos fazer uma substituição. Seja , então , ou seja, .
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Integrando :
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral externa, que é em relação a theta: