Determine a solução geral das equações diferenciais lineares d y/d x + y/x = cos x + sen x/x

Passo 1

Resumindo o problema: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial linear . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, identificamos os coeficientes na equação diferencial. A equação está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Calculamos o fator integrante que é dado por . Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Portanto, podemos reescrever a equação como:

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 7

Calculamos as integrais:
Portanto:

Passo 8

Isolamos dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

Determine a solução geral das equações diferenciais exatas (x^3 + y^3) + 3xy^2 * dy/dx = 0
Verifique que y = [1 + (2/3) * ln(1 + x^3)]^(1/2) é solução do PVI y' = x^2 / (y(1 + x^3)), y(0) = 1.
Sendo y0(x) = x uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati y' + 2xy = 1 + x^2 + y^2
Determine a solução geral das equações diferenciais exatas 2(3xy^2 + 2x^3) + 3(2x^2y + y^2) dy/dx = 0