Sendo
uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati
Passo 1
Beleza, você me passou uma equação diferencial conhecida como Equação de Riccati:
E também me disse que uma solução dessa equação é
. Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução para essa equação usando essa informação. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como usar soluções conhecidas para encontrar novas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
No seu caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Sabendo que
é uma solução, vamos usar o método de substituição para encontrar outra solução. A ideia é fazer uma mudança de variável que simplifique a equação.
Vamos supor que a solução geral
possa ser escrita como:
Ou seja:
Aqui,
é uma nova função que vamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
e
na equação de Riccati original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:
Passo 6
Agora, vamos cancelar os termos iguais dos dois lados:
Eles aparecem em ambos os lados, então sobra:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Portanto:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial simples para
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Aqui,
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
pela expressão encontrada:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a solução geral da equação de Riccati dada a solução particular
.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região contida no círculo
.