Sendo y0(x) = x uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati y' + 2xy = 1 + x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, você me passou uma equação diferencial conhecida como Equação de Riccati:
E também me disse que uma solução dessa equação é . Nosso objetivo aqui é encontrar outra solução para essa equação usando essa informação. Para isso, precisamos entender um pouco sobre equações de Riccati e como usar soluções conhecidas para encontrar novas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma Equação de Riccati tem a forma geral:
No seu caso, podemos reescrever a equação original assim:
Aqui, , e .

Passo 3

Sabendo que é uma solução, vamos usar o método de substituição para encontrar outra solução. A ideia é fazer uma mudança de variável que simplifique a equação.
Vamos supor que a solução geral possa ser escrita como:
Ou seja:
Aqui, é uma nova função que vamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Substituímos e na equação de Riccati original:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Primeiro, simplificamos o lado esquerdo:
E o lado direito:
Igualando os dois lados:

Passo 6

Agora, vamos cancelar os termos iguais dos dois lados:
Eles aparecem em ambos os lados, então sobra:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Portanto:

Passo 7

Agora, temos uma equação diferencial simples para :
Integrando ambos os lados em relação a :
Aqui, é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos pela expressão encontrada:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a solução geral da equação de Riccati dada a solução particular .

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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