Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região contida no círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral de
sobre a região
, que é o círculo definido por
. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar a fórmula da integral dupla em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
, onde:
E a área diferencial
em coordenadas polares é dado por
. Isso acontece porque o elemento de área se “esticou” pelo fator
quando fazemos a mudança de coordenadas.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites de integração usando coordenadas polares. A função
fica
, já que
. A região
é o círculo de raio 3, então
varia de
a
e
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 4
Com tudo isso, a integral dupla fica assim:
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a
:
Fazendo uma substituição, seja
, então
ou
. A integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Determine a solução geral das equações diferenciais exatas
Sendo
uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é a região do primeiro quadrante contida no círculo
.
Use coordenadas polares para calcular a integral dupla.
, onde
é o setor do primeiro quadrante limitado por
e
.