Use coordenadas polares para calcular a integral dupla. integral duplaR sen(x^2+y^2) d A, onde R é a região contida no círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular a integral de sin(x^2+y^2) sobre a região R, que é o círculo definido por x^2+y^2=9. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e usar a fórmula da integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, qualquer ponto (x, y) é representado por (r, theta), onde:
  • x = r cos(theta)
  • y = r sin(theta)
E a área diferencial dA em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta. Isso acontece porque o elemento de área se “esticou” pelo fator r quando fazemos a mudança de coordenadas.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função que estamos integrando e os limites de integração usando coordenadas polares. A função sin(x^2+y^2) fica sin(r^2), já que x^2+y^2 = r^2. A região R é o círculo de raio 3, então r varia de 0 a 3 e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 4

Com tudo isso, a integral dupla fica assim:
integral duplaR sin(x^2+y^2) , dA = integral0^2pi integral0^3 sin(r^2) cdot r , dr , dtheta
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a r:
integral0^3 sin(r^2) cdot r , dr
Fazendo uma substituição, seja u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = 12 du. A integral fica:
12 integral0^9 sin(u) , du = 12 [-cos(u)]0^9 = 12 (-cos(9) + cos(0)) = 12 (1 - cos(9))

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi 12 (1 - cos(9)) , dtheta = 12 (1 - cos(9)) cdot integral0^2pi dtheta = 12 (1 - cos(9)) cdot 2pi = pi (1 - cos(9))

Resposta

A integral dupla vale pi (1 - cos(9)).

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