Determine a solução geral das equações diferenciais exatas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a solução geral da equação diferencial exata
. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Exatas, e para resolver, a gente vai precisar identificar os termos
e
da equação na forma padrão
, além de verificar se a equação é realmente exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
. Isso facilita na identificação dos termos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se
.
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação é realmente exata.
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a integração em relação a
pode ter uma constante que depende de
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar a
para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos chamar de
.
Passo 6
Portanto, a função
fica:
A solução geral é dada por
, ou seja:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante.
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Verifique que
é solução do PVI
,
.
Determine a solução geral das equações diferenciais lineares
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Sendo
uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati