Determine a solução geral das equações diferenciais exatas (x^3 + y^3) + 3xy^2 * dy/dx = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a solução geral da equação diferencial exata . A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais Exatas, e para resolver, a gente vai precisar identificar os termos e da equação na forma padrão , além de verificar se a equação é realmente exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão . Isso facilita na identificação dos termos e .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial é exata se .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é realmente exata.

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a integração em relação a pode ter uma constante que depende de .

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a e igualar a para encontrar :
Comparando os dois lados:
Isso implica que , então é uma constante, que podemos chamar de .

Passo 6

Portanto, a função fica:
A solução geral é dada por , ou seja:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é uma constante.

Exercícios relacionados

Verifique que y = [1 + (2/3) * ln(1 + x^3)]^(1/2) é solução do PVI y' = x^2 / (y(1 + x^3)), y(0) = 1.
Determine a solução geral das equações diferenciais lineares d y/d x - y = -2 e^(-x)
Determine a solução geral das equações diferenciais lineares d y/d x + y/x = cos x + sen x/x
Sendo y0(x) = x uma solução, resolva as seguintes equações de Riccati y' + 2xy = 1 + x^2 + y^2