Verifique que y = [1 + (2/3) * ln(1 + x^3)]^(1/2) é solução do PVI y' = x^2 / (y(1 + x^3)), y(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente quer verificar se a função é solução da equação diferencial com a condição inicial . Para isso, vamos precisar usar derivadas e propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A função está na forma de uma potência, então vamos usar a regra da cadeia para derivar.
A função é .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar o que está dentro do colchete:
E a derivada do logaritmo é:
Então, substituindo:

Passo 4

Voltando à expressão da derivada de :
Simplificando:
Mas lembramos que , então:

Passo 5

Agora, vamos verificar a condição inicial . Substituindo na função:
Como :

Resposta

Portanto, satisfaz a equação diferencial dada e a condição inicial .

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