Resolva as seguinte equações de Bernoulli 2 y' = y / x - x / y^2, y(1) = 1.

Passo 1

Vamos resolver a equação de Bernoulli dada por com a condição inicial . Para isso, vamos utilizar o conhecimento sobre equações diferenciais de Bernoulli, que são equações da forma . Precisaremos transformar a equação dada nessa forma padrão e aplicar uma substituição adequada para torná-la linear.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Dividindo ambos os lados por 2:

Passo 3

Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é . Para isso, rearranjamos os termos:
Aqui, identificamos que , e .

Passo 4

Em equações de Bernoulli, fazemos a substituição . Neste caso, como :

Passo 5

Vamos derivar em relação a :

Passo 6

Substituímos da equação original na expressão de :
Simplificando:
Como , temos:

Passo 7

Agora, temos uma equação linear em :
Para resolver, encontramos o fator integrante :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integramos ambos os lados em relação a :

Passo 10

Resolvemos para :

Passo 11

Lembrando que , temos:

Passo 12

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 13

Substituímos na expressão de :

Resposta

A solução da equação de Bernoulli dada com a condição inicial é:

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