Resolva as seguinte equações de Bernoulli
.
Passo 1
Vamos resolver a equação de Bernoulli dada por
com a condição inicial
. Para isso, vamos utilizar o conhecimento sobre equações diferenciais de Bernoulli, que são equações da forma
. Precisaremos transformar a equação dada nessa forma padrão e aplicar uma substituição adequada para torná-la linear.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 3
Agora, vamos colocar a equação na forma padrão da equação de Bernoulli, que é
. Para isso, rearranjamos os termos:
Aqui, identificamos que
,
e
.
Passo 4
Em equações de Bernoulli, fazemos a substituição
. Neste caso, como
:
Passo 5
Vamos derivar
em relação a
:
Passo 6
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Como
, temos:
Passo 7
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integramos ambos os lados em relação a
:
Passo 10
Resolvemos para
:
Passo 11
Lembrando que
, temos:
Passo 12
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 13
Substituímos
na expressão de
:
Resposta
A solução da equação de Bernoulli dada com a condição inicial é:
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