Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. A gente tem a equação diferencial e a condição inicial . A ideia aqui é separar as variáveis e para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos agrupar todas as expressões que envolvem de um lado e as que envolvem do outro lado. Então, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para isolar as variáveis:
Mas para facilitar, podemos reescrever como:
Agora, tudo está pronto para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados da equação:
A integração de é , e a de é . Então, temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Como , temos:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, rearranjando:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
Determine a solução geral das EDOs lineares de ordem abaixo:
Determine a solução geral das equações homogêneas de ordem abaixo: