Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: sen(θ) dθ = 2y dy, y(π/2) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. A gente tem a equação diferencial e a condição inicial . A ideia aqui é separar as variáveis theta e y para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos agrupar todas as expressões que envolvem y de um lado e as que envolvem theta do outro lado. Então, dividimos ambos os lados por e multiplicamos por para isolar as variáveis:
Mas para facilitar, podemos reescrever como:
Agora, tudo está pronto para integrar ambos os lados.

Passo 3

Vamos integrar os dois lados da equação:
A integração de sen(theta) é , e a de é . Então, temos:
Onde C é a constante de integração.

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Sabemos que quando , . Substituindo na equação:
Como , temos:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, rearranjando:

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