Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. A gente tem a equação diferencial
e a condição inicial
. A ideia aqui é separar as variáveis
e
para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Isso significa que vamos agrupar todas as expressões que envolvem
de um lado e as que envolvem
do outro lado. Então, dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
para isolar as variáveis:
Mas para facilitar, podemos reescrever como:
Agora, tudo está pronto para integrar ambos os lados.
Passo 3
Vamos integrar os dois lados da equação:
A integração de
é
, e a de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
. Substituindo na equação:
Como
, temos:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
Ou, rearranjando:
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Determine a solução geral das EDOs lineares de
ordem abaixo:
Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo: