As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
definida por
. Nosso objetivo é ver se essa função tem uma inversa
. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções inversas e propriedades como injetividade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função inversa. Uma função
é a inversa de
se, para todo
no domínio de
,
nos dá o valor de
tal que
. Mas para isso ser possível, a função
precisa ser “bijetiva”, ou seja, tem que ser injetiva (não repete valores) e sobrejetiva (cobre todo o conjunto de chegada).
Passo 3
Vamos verificar se
é injetiva. Uma função é injetiva se, para dois valores diferentes de
, os valores de
também são diferentes. No nosso caso, observe que:
Isso mostra que
, ou seja, a função não é injetiva para todo
, já que diferentes valores de
(como
e
) produzem o mesmo
.
Passo 4
Como a função
não é injetiva no seu domínio original
, ela não possui uma inversa em todo esse domínio. Para ter uma inversa, precisaríamos restringir o domínio de
a um intervalo onde ela seja injetiva, por exemplo,
ou
. Mas, de acordo com o enunciado, a função está definida para todo
, sem restrições.
Resposta
Não, a função
definida em
não possui uma função inversa
porque não é injetiva nesse domínio.
Exercícios relacionados
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(a) .
(a)
Determine a solução geral das equações homogêneas de
ordem abaixo:
;
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(d) .
(d)
As funções abaixo são as funções do exercício 6 da lista anterior. Para cada função, discuta se é possível definir a função inversa
em caso afirmativo escreva a definição.
(f) .
(f)