Determine a solução geral das seguintes EDOs:

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Isso envolve o estudo de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar manipular os termos para encontrar uma expressão para em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por (assumindo que ), temos:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação. Seja , ou seja, a primeira derivada de em relação a . Assim, a segunda derivada pode ser escrita como . Substituindo na equação, ficamos com:

Passo 4

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para em termos de . Ela é linear e pode ser resolvida usando o método do fator integrante. A equação geral de uma EDO linear é:
No nosso caso, reescrevemos a equação como:
Aqui, e .

Passo 5

Para resolver, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos a equação diferencial por :
Isso simplifica para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração. Assim, temos:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 7

Finalmente, integramos para encontrar :
onde é outra constante de integração.

Resposta

A solução geral da EDO é:

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