Determine a solução geral das seguintes EDOs:
Passo 1
Vamos entender o enunciado. Temos a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Isso envolve o estudo de equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver essa equação, vamos precisar manipular os termos para encontrar uma expressão para
em função de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar o trabalho. Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
), temos:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a equação. Seja
, ou seja, a primeira derivada de
em relação a
. Assim, a segunda derivada
pode ser escrita como
. Substituindo na equação, ficamos com:
Passo 4
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem para
em termos de
. Ela é linear e pode ser resolvida usando o método do fator integrante. A equação geral de uma EDO linear é:
No nosso caso, reescrevemos a equação como:
Aqui,
e
.
Passo 5
Para resolver, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos a equação diferencial por
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim, temos:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 7
Finalmente, integramos
para encontrar
:
onde
é outra constante de integração.
Resposta
A solução geral da EDO é: