Então, galera, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação dada e também cumpre as condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Aqui, representa a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar .
Passo 3
Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, , onde é a derivada de em relação a . Substituindo na equação, temos:
Ou seja:
Passo 4
Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis. Vamos reescrever isso como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .
Passo 5
Integrando os dois lados:
O que nos dá:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
Lembrando que , substituímos de volta:
Para simplificar, vamos resolver para :
Assumindo que estamos trabalhando em um intervalo onde é positivo.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar integrando :
No entanto, para determinar a constante , usamos as condições iniciais fornecidas.