Resolva os seguintes PVIs:

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse problema de valor inicial (PVI) que a gente tem aqui. A gente vai usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações diferenciais de segunda ordem. Precisamos encontrar a função que satisfaz a equação dada e também cumpre as condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial:
Aqui, representa a primeira derivada de em relação a , e é a segunda derivada. Nosso objetivo é resolver essa equação para encontrar .

Passo 3

Para facilitar, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, , onde é a derivada de em relação a . Substituindo na equação, temos:
Ou seja:

Passo 4

Agora, temos uma equação que podemos separar as variáveis. Vamos reescrever isso como:
Isso significa que podemos integrar ambos os lados para encontrar uma relação entre e .

Passo 5

Integrando os dois lados:
O que nos dá:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta:
Para simplificar, vamos resolver para :
Assumindo que estamos trabalhando em um intervalo onde é positivo.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar integrando :
No entanto, para determinar a constante , usamos as condições iniciais fornecidas.

Passo 8

Sabemos que . Substituindo na equação de :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 9

Com , a equação para fica:
Assumindo (já que está no início), temos .

Passo 10

Agora, integramos para encontrar :
Onde é a constante de integração.

Passo 11

Usamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução do PVI é:

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